Rabu, 30 November 2011

Soal Latihan OSN - PASIAD


SOAL 1
Lengkapilah Segilima Ajaib berikut dengan mengisikan bilangan pada lingkaran-lingkaran yang masih kosong, sehingga jumlah bilangan pada lingkaran-lingkaran yang terletak segaris adalah 100. Tunjukan bahwa hanya terdapat satu solusi untuk soal ini.

SOAL 2
ABCD adalah jajar genjang. G adalah titik tengah AD dan F adalah titik tengah AG. Luas jajar genjang ABCD adalah 200 cm2. Tentukan luas segiempat BCGF.

SOAL 3
Pada segitiga ABC, X adalah titik pada AC sehingga AX : XC = 3 dan AXB = 700. Tentukan panjang AC jika ABC = 1100 dan BC = 6 cm.

SOAL 4
Tentukan semua bilangan 3-digit N sehingga N – 14 habis dibagi 7, N – 24 habis dibagi 8, dan N – 36 habis dibagi 9.

SOAL 5
Pada jajar genjang ABCD, AB = 15 cm dan BC = 14 cm. Titik H terletak pada AD sehingga BH tegak lurus AD. Tentukan panjang diagonal BD jika BH = 12 cm.

SOAL 6
X, Y, dan Z adalah bilangan bulat positif sehingga X2 + Y2+ Z2 = 390. Berapakah nilai dari X + Y + Z?. Tentukan semua kemungkinan yang memenuhi.

SOAL 7
Tunjukkan bahwa 29 x 2099 + 71 x 5664 + 24 x 3755habis dibagi 19

SOAL IMO 2011


HARI PERTAMA

Soal 1. Diberikan sebarang himpunan A = {a1, a2, a3, a4} dari empat bilangan bulat positif berbeda, jumlah a1+a2+a3+a4 didefinisikan dengan sA. Misalkan nA menyatakan banyaknya pasangan (i, j) dengan 1 i < j 4 sehingga ai + aj membagi sA. Cari semua himpunan A dari empat bilangan bulat positif berbeda yang merealisasikan nilai nA terbesar yang mungkin.

Soal 2. Misalkan S adalah suatu himpunan hingga dari paling sedikit dua titik pada bidang tertentu. Asumsikan bahwa tidak ada tiga titik dari S yang segaris. Suatu pusaran adalah suatu proses yang dimulai dengan suatu garis melalui suatu titik tunggal P S. Garis itu berputar searah putaran jarum jam dengan pusat P sampai waktu pertama garis itu bertemu suatu titik lain anggota S. Titik ini, Q, mengambil alih sebagai pusat baru, dan garis itu sekarang berputar searah putaran jarum jam dengan pusat Q, sampai garis itu bertemu suatu titik berikutnya dari S. Proses ini berlanjut secara terus menerus.
Buktikan bahwa kita dapat memilih suatu titik P di S dan suatu garis  melalui P sehingga pusaran yang dihasilkan menggunakan masing-masing titik dari S sebagai pusat tak hingga banyak kali.

Soal 3. Misalkan f : R R adalah suatu fungsi bernilai real terdefinisi pada himpunan bilangan real memenuhi
f(x + y) yf(x) + f(f(x))
untuk semua bilangan real x dan y. Buktikan bahwa f(x) = 0 untuk semua x 0.

HARI KEDUA

Soal 4. Misalkan n > 0 adalah suatu bilangan bulat. Kita diberi suatu neraca dan n pemberat dengan berat 20, 21, . . . , 2n1. Kita letakkan masing-masing dari n pemberat pada neraca, satu demi satu, sedemikian cara sehingga baki kanan tidak pernah lebih berat dari baki kiri. Pada masing-masing langkah kita memilih satu dari pemberat yang belum diletakkan pada neraca, dan meletakkannya pada baki kiri atau kanan, sampai semua pemberat terletakkan.
Tentukan banyak cara yang seperti ini dapat dilakukan.

Soal 5. Misalkan f adalah suatu fungsi dari himpunan bilangan bulat ke himpunan bilangan bulat positif. Anggap bahwa, untuk sebarang dua bilangan bulat m dan n, beda f(m)f(n) terbagi oleh f(m n). Buktikan bahwa, untuk semua bilangan bulat m dan n dengan f(m) f(n), bilangan f(n) terbagi oleh f(m).

Soal 6. Misalkan ABC adalah suatu segitiga lancip dengan lingkaran luar Г. Misalkan adalah suatu garis singgung Г, dan misalkan a, b dan c berturut-turut adalah garis-garis yang diperoleh dari mencerminkan pada garis-garis BC, CA dan AB. Buktikan bahwa lingkaran luar segitiga yang dibentuk oleh garis-garis a, b dan c bersinggungan dengan lingkaran Г.

Selasa, 29 November 2011

Kuis Matematika


Masing-masing dari bilangan 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 digunakan hanya sekali untuk mengisi kotak-kotak yang ada pada gambar berikut sehingga menjadi sebuah pernyataan yang bernilai benar. Dari ketiga pecahan yang dijumlahkan tersebut, pecahan yang terbesar adalah ...

Soal Olimpiade Matematika : Ketaksamaan

 1. (Titu97) Tunjukan bahwa untuk semua bilangan yang tidak nol, a, b, c :
2. (Titu97) Tunjukan bahwa untuk ak 0:

3. (Titu97) Diketahui xk [1, 2], k {1, . . . , n}. Tunjukan :

4. (IMO95) Diketahui a, b, dan c adalah bilangan rael positif yang memenuhi abc = 1. Tunjukkan :

5. (Kiran97) Diketahui a, b, c adalah bilangan positif. Tunjukkan :

6. (IMO 2001 Shortlist) Tunjukan bahwa untuk semua bilangan real positif a, b, c, berlaku :

7. (Titu97) Tunjukan bahwa untuk bilangan positif  x1, x2, . . . , xn :

8. (Zvezda98) Untuk semua bilangan tidak negatif  a, b, c :

9. (IMO84) Untuk x, y, z > 0 dan x + y + z = 1, tunjukkan bahwa  xy + yz + xz 2xyz 7/27.

10. (MMO63) Untuk a, b, c > 0, tunjukkan :

11. (88 Friendship Competition) Untuk a, b, c > 0 :

Senin, 28 November 2011

Soal Latihan Matematika : Taiwan Imso - 2005 ( 2 )


1. If a, b, c and d are positive integers such that
What is the value of a + b + c + d ?

2.Alan has a stride 75 cm. If he travels by walking 5 steps forward and one step back, what is the least number of steps he needs to reach a spot 24 metres away?

3.N is a positive integer such that N and N + 97 are both perfect squares. What is the positive integer N ?

4.Five students sit for an exam which has a maximum score of 100. The average of the five scores achieved by the students in the exam was 89. What could the minimum score be gained?

5.In Figure, OX = OY =10 are radii of a circular quadrant. A semi-circle is drawn on XY as shown. T, S and C denote the resulting triangles, segment and crescent. What is the area of C ?



6.A large watermelon weighs 12 kg, with 97% of its weight being water. It is left to stand in the sun, and some of the water evaporates so that now only 90% of its weight is water. What does it now weigh?


7.What is the number of lines of symmetry in the plane of the diagram?

8.What is the value of x in the diagram?

9.When 1020052005 is express as a single number, what is the sum of the digits?

10.The length of the sides of a triangle PQR are PQ = 5, QR = 3 and RP = 4. The bisectors of the angles P and Q meet at the point I. What is the area of the triangle PQI?




11.A cube with edge of length 10 is painted. The cube is then divided into 1000 unit cubes. Among these small cubes, how many cubes which have one or two painted faces?

Soal Latihan Matematika : Taiwan Imso - 2005


1. A foundation has allocated a certain amount of money for 1st, 2nd and 3rd prizes in a competition. The money is divided in the ratio of 32 where the larger amount is for the 1st prize and the smaller amount is divided again in the ratio of 32 for the 2nd and 3rd prizes respectively. It becomes known that the 3rd prize is $3300 less than the first prize. How much is the 2nd prize?

2. Three man and three children arrive at the river where there is a small boat that will hold one adult or two children. What is the minimum number of trips across the river in either direction to get the family across?

3. Mr. Sun has a broken calculator. When just turned on, it displays 0. If the + key is pressed, it adds 35. If thekey is pressed, it subtracts 35. If the × key is pressed, it adds 91. If the ÷ key is pressed, it subtracts 91. The other keys do not function. Mr. Sun turns the calculator on. What is the number closest to 2005 that he can get using this calculator?

4. There are 500 unit cubes. As many of these cubes as needed are glued together to form the largest possible cube which looks solid from any point on the outside but is hollow inside. What is the side length of the largest cube?

5. What is the ratio of the shaded square to that of the largest square shown in the diagram?

6. A three-digit number N leaves remainder 3 when divided by 7, remainder 5 when divided by 11 and remainder 8 when divided by 17. What is the number N ?

Soal latihan Matematika : PIMS Grade 7


1. Every whole number larger than the number 1 has at least 2 factors : the number itself and the number 1. Find the sum of all the factors of 33.

2. In the diagram, a circle of radius 6 is internally tangent at P to a circle of radius 8. PQ is a diameter of the larger circle, QR is tangent to the smaller circle, and OR is a radius of the smaller circle. Find the area of the triangle OQR.

3. A bicycle wheel covers a distance of 45 metres when it makes 25 revolutions. How many revolutions are needed to cover a distance of 99 metres?

4. In a certain sequence, a1 < 0, a2 > 0, and a3> 0.
For n > 2 , an = an-1 + an-2.
Two consecutive terms of the sequence have values of 29 and 47.
Find the value of a1 + a2 + a3 .

5. Nick received a sum of money as a present for his 13-th birthday. 2/5 of that sum was spent on computer games, 1/2 of the remainder was spent on healthy snacks, and the rest was saved. Nick spent 11 dollars more on computer games than he spent on snacks. How much money (in dollars) did he save?

Soal Latihan Matematika : PIMS Grade 7


1. The radius of a semicircle is 10 metres. A square is inscribed in the semicircle, with one side on the diameter, as shown in the diagram. Find the area of the square (in m2 ).

2. The human body has (on average) 114 trillion cells (114×1012 ) . The weight of each cell (on average) is 55×1011grams. What is the average weight of the human body (in kilograms)? Give your answer as a decimal, correct to one decimal place

3. What is the remainder when 1024 is divided by 9997?

4. Aziz wrote all of the ten thousand integers from the number 1 to the number 10000, one by one, in increasing order. The beginning of his sequence looks like this:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...
Note that he wrote the digit 0 for the first time when he wrote the number "10", and he wrote it for the second time when he wrote the number "20". In what number N, of his sequence, did he write the digit 0 for the 2007-th time?

5. In the diagram, BCED is a trapezoid. The length of DE is 10. The line segment AG is a height of the large triangle, and it intersects DE at F. Also given: AF=5, and FG=3. Find the area of the trapezoid.