Indahnya Soal Matematika

Dalam banyak kompetisi matematika, perancang soal senantiasa mencoba membuat soal yang semenarik mungkin. Salah satu caranya adalah dengan menyertakan angka tahun saat pelaksanaan lomba dalam sebuah soal, khususnya soal-soal yang menyangkut bilangan. Dan hasilnya pun,  tidak disangka-sangka, sangat singkat.
Berikut adalah beberapa contoh soal sebagaimana dimaksud :

1. (Awesome Math Test C 2010)
          Hitunglah : 1 + 2 + 3 - 4 - 5 + 6 + 7 + 8 - 9 - 10 + ... - 2010
          dimana setiap tiga kali tanda (+) selalu diselingi dua tanda (-)


2. (Awesome Math Test C 2010)
    Tentukan semua bilangan 4-digit N yang jumlah digit-digitnya sama dengan 2010 - N

3. (CHAMP 1997)
    Sederhanakanlah : (3)¹⁹⁹⁷+ (-3)¹⁹⁹⁷

4. (Taiwan Imso 2010)
    Tambahkan empat digit di belakang 2010 untuk membentuk bilangan 8-digit terkecil yang habis dibagi 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan 8

5. (OSK SMP 2010)
    Jika jumlah k bilangan bulat positif berurutan adalah 2010, dengan k > 1, maka k terkecil yang mungkin adalah ...

6. (Western Australian Junior Mathematics Olympiad 2009)
    Berapa digit satuan dari 2²⁰⁰⁹ x 3²⁰⁰⁹ x 6²⁰⁰⁹  

7. (Maryland Mathematic Competition 2002)
    Rank the following three numbers in order:   x = 2001/2002,   y = 2002 ^1/2002  ,  z = (-2003)²⁰⁰³

8. (AMATYC 2008)

    The equation a³ + b³+ c³= 2008 has a solution in which a, b, and c are distinct even positive integers. Find a + b + c

Masih banyak soal-soal lain yang memiliki keindahan yang serupa, bahkan ada soal yang sulit, tetapi hasilnya sesuai  dengan angka tahun saat itu. Luar biasa, kepandaian si pembuat soal memang patut dipuji.

Soal Kompetisi Matematika

"Matematika kok soal melulu sih..." . Komentar semacam itu akan sering kita dengar tatkala kita berdiri di muka kelas dalam rangka membimbing dan membina siswa. Namun, mau apa lagi, itulah matematika. Konsep yang telah diajarkan dan bahkan telah dikuasai siswa tidak akan berarti apa-apa jika tidak diterapkan dalam penyelesaian soal-soal. Kemampuan dan kemahiran matematika tidak akan lahir dari hanya dengan membaca buku semata, kemahiran matematika justru lahir dari berbagai latihan dalam menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan konsep tersebut.

Salah satu langkah dalam mengurangi komentar siswa sebagaimana disebutkan di atas adalah memberikan soal-soal latihan yang berbobot dan menantang siswa. Soal semacam itu diharapkan dapat menjadi tombak bermata dua, satu mata tombak ditujukan untuk membangkitkan motivasi belajar siswa secara umum dan satu mata tombak lagi diharapkan untuk terus menjaga motivasi belajar dan memberikan tantangan belajar bagi siswa-siswa yang pintar, agar mereka tidak merasa bosan dengan soal-soal latihan yang diambil dari buku siswa yang umumnya telah mereka coba di rumah masing-masing.

Soal-soal kompetisi matematika adalah soal-soal yang sangat berbobot dan menantang siswa untuk terus mencoba dan belajar. Oleh karenanya, maka pada kesempatan ini saya coba sajikan soal yang saya kutip dari Nassau County Interscholastic Mathematics League 2009/2010. Semoga bermanfaat dan selamat mencoba.

Nassau County Interscholastic Mathematics League

2009-2010

Contest #1

1.      Nyatakan sebagai pecahan yang paliung sederhana : 0,53333... - 0,312121212...

2.      Jika a = 3 + √3, hitunglah a² + 36/ a²

3.      Tentukan semua nilai x sehingga │x²- 9│ = 3x – 5

4.      Nyatakan dalam bentuk yang paling sederhana

5.      Sebuah lingkaran yang berjari-jari 6 cm berpotongan dengan lingkaran yang berjari-jari 5 cm pada titik A dan B. Jika jarak kedua pusat lingkaran adalah 9 cm, tentukan panjang AB.

6.      Hitung : √(11 + √72) + √(11 - √72) 

Contest #2

7.      Steve plans to walk on a treadmill for 40 minutes. If he walks at a constant rate of 3.6 mph for 15 minutes, compute the rate in mph that he will have to walk for the remainder of his workout in order to have covered a total distance of 3 miles at the end of 40 minutes.

8.      cone is inscribed in a sphere of radius 25cm. The ratio of the height of the cone to the diameter of its base is 3:2. Compute the volume of the cone

9.      A positive integer, N, divided by 8 has a quotient with a remainder of 5. The quotient divided by 7 produces a quotient with a remainder of 3. When this new quotient is divided by 5, the result is a quotient with a remainder of 2. Compute the least value for N.

10.  The area of a rhombus is 336 cm² . Its perimeter is 100 cm. Compute the length of each of its diagonals.

11.  In an election between Jones and Smith, Jones leads by 54% to 46%, with 56% of the votes counted. Compute the per cent of the remaining votes that Smith must win, in order to win the election with 52% of the vote.

12.  Write an equation of the locus of points 5 units away from the line 4x - 3y = 6 and passing through quadrant II.

Contest #3

13.  Hitung bilangan bulat terkecil, x, sehingga 5850x = N³, apakah N bilangan bulat?

14.  Carilah penyelesaian untuk x yang memenuhi 3^x – 3^x-2 = 648√3

15.  Carilah penyelesaian untuk x yang memenuhi : log₅ x + log₂₅ x + log₁₂₅x = 22/3

16.  Two adjacent sides of a parallelogram measure 7cm and 9cm, respectively. If one diagonal measures 11 cm, compute the length of the other diagonal.

17.  If sin 2x = , and x is acute, compute the value of (sin x – cos x)²

18.  If 9x + 40y = 360, compute the minimum value of  √(x² + y²) .

Melawan Egoisme

Manusia cenderung egoistik, mementingkan diri sendiri. Egoisme merupakan suatu kejahatan dan dipandang sebagai pelanggaran moral karena ia selalu mengabaikan kepentingan orang lain. Egoisme membuat manusia jauh dari kebenaran dan menyimpang dari petunjuk Tuhan. Egoisme, dengan demikian, dapat dipandang sebagai penjara (belenggu) bagi manusia.

Dalam bahasa agama, ego atau egoisme itu dinamai hawa nafsu. Perkataan hawa nafsu berasal dari kata Arab. Hawa berarti keinginan dan al-nafs berarti diri manusia atau kecenderungan dalam diri manusia. Jadi, hawa nafsu berarti kecenderungan dalam diri manusia untuk selalu mengikuti hal-hal yang buruk.

Oleh karena itu, manusia disuruh melawan dan mengendalikan hawa nafsu. Usaha manusia dalam perjuangan melawan hawa nafsu ini tentu bertingkat-tingkat, tergantung pada kemampuan dan kekuatan imannya. Dalam buku Mizan al-'Amal, Imam Ghazali menyebutkan tiga tingkatan manusia dalam masalah ini.

Pertama, orang yang sepenuhnya dikuasai oleh hawa nafsunya dan tidak dapat melawannya sama sekali. Ini merupakan keadaan manusia pada umumnya. Dengan begitu, ia sungguh telah mempertuhankan hawa nafsunya seperti dimaksud ayat ini, ''Maka, pernahkah kamu melihat orang yang telah menjadikan hawa nafsunya sebagai tuhannya dan Allah membiarkannya sesat berdasarkan ilmu-Nya.'' (Al-Jatsiyah: 23).

Kedua, orang yang senantiasa dalam pertarungan melawan hawa nafsu. Pada suatu kali ia menang dan pada kali yang lain ia kalah. Kalau maut merenggutnya dalam pertarungan ini, maka ia tergolong mati syahid. Dikatakan demikian, karena ia sedang dalam perjuangan melawan hawa nafsu sesuai perintah Nabi SAW, ''Berjuanglah kamu melawan hawa nafsumu sebagaimana kamu berjuang melawan musuh-musuhmu.'' Ini merupakan tingkatan manusia yang tinggi di bawah para nabi dan wali-wali Allah.

Ketiga, orang yang sepenuhnya dapat menguasai dan mengendalikan hawa nafsunya. Inilah orang yang mendapat rahmat Allah, sehingga terjaga dan terpelihara dari dosa-dosa dan maksiat. Menurut Ghazali, ini merupakan tingkatan para nabi dan wali-wali Allah. Dalam perjuangan melawan hawa nafsu, menurut Ghazali, manusia dituntut ekstra hati-hati dan waspada secara terus-menerus, supaya ia jangan tertipu (ghurur). Kata Ghazali, banyak orang merasa telah bekerja dan berjuang untuk agama, nusa, dan bangsa, padahal sesungguhnya ia bekerja hanya untuk kepentingan dirinya sendiri dan untuk memuaskan egonya.

Sikap waspada juga diperlukan karena sering timbul kerancuan (iltibas) antara perintah akal (kebaikan) dan nafsu (keburukan). Berbeda dengan nafsu, akal secara umum menyuruh manusia kepada kebaikan. Namun, suatu saat kita bisa ragu-ragu dan tidak mampu mengidentifikasi dan menetapkan pilihan.

Dalam situasi demikian, Ghazali menganjurkan agar kita berpihak dan memilih sesuatu yang menyusahkan daripada yang menyenangkan. Alasannya, kebaikan pada umumnya menuntut kerja keras dan pengorbanan, sehingga terkesan menyusahkan. Kata Nabi, ''Surga dipagari oleh hal-hal yang tidak disukai, sedangkan neraka diliputi oleh hal-hal yang menyenangkan.'' Wallahu a'lam.

Garis Lurus

Seekor kuda unggulan jenis Lusiano tampak berlari santai menelusuri jalan setapak. Postur tubuhnya yang tegap dan langsing menjadikannya begitu ringan dan mantap ketika berlari. Nyaris, tak satu pun hewan di kawasan hutan lindung itu yang mampu menandingi larinya.

Setiap kali ada kuda-kuda lain yang tampak berlari, Lusiano selalu memacu larinya untuk bisa sejajar. Ia pun menoleh ke arah kuda itu dan mengajaknya untuk berlomba. Tapi, tak satu pun yang tertarik. Soalnya, ujungnya selalu sama: kalah.

Yang menyakitkan dari kekalahan oleh Lusiano, bukan pada kalahnya. Tapi, dari kesombongan Lusiano yang begitu menyakitkan lawan. ”Payah, lari kok mundur!” ucap Lusiano sambil tertawa.

Suatu kali, Lusiano melalui seekor kuda tua yang tampak berlari lambat dari arah yang berlawanan. Ia pun menghentikan larinya ketika Lusiano tiba-tiba memalangi jalan dengan tubuhnya yang tegap.

”Ada apa, Lusiano?” ucap si kuda tua dengan tetap menampakkan wajah tenang.

”Hei, Kakek. Apa kau tahu di mana tempat yang menarik kukunjungi? Aku sedang mencari lawan tanding yang sepadan?” ungkap Lusiano masih dengan penampilan sombongnya.

”Oh itu,” ujar sang kuda tua. ”Kamu bisa berlari ke arah utara, di sana akan ada tempat yang menarik untuk berlomba dengan siapa pun yang kau suka,” jawab sang kuda tua sambil kemudian berlalu meninggalkan Lusiano yang masih tampak bingung.

”Apa masih jauh?” ucap Lusiano.

”Bagiku jauh sekali, Lusiano. Entah menurutmu?” kata-kata pancingan itu kian membangkitkan kesombongan Lusiano untuk sesegera mungkin tiba di tempat itu. Dan ia pun memacu larinya menuju tempat yang disebut si kuda tua.

Lusiano berlari dan terus berlari. Hingga, ia menemukan sebuah tempat yang baru kali ini ia jumpai. Sebuah tepian pantai yang begitu landai. Sepanjang mata memandang, hanya ada sebuah garis lurus yang memisahkan bumi dan langit.

Lusiano tampak bingung dengan tempat itu. Tak satu pun kuda yang ia harapkan muncul di tempat itu. Dan pandangannya pun hanyut dalam garis lurus yang tak bertepi itu.

”Ah, betapa kecilnya aku. Ternyata, tak ada yang tinggi di bumi ini, kecuali langit di atas sana,” gumam Lusiano sambil terus menatap garis lurus itu.

**
Ketika seseorang memandang suatu yang sangat tinggi dalam dirinya, bahkan melampaui orang-orang di sekitarnya; sebenarnya ia sedang memandang dunia dari sisi yang teramat sempit.

Betapa kecilnya bumi dan dunia ini jika khazanah alam raya menjadi pembandingnya. Saat itu, siapa pun dan bagaimana pun kelebihan dan keunggulannya, akan menemukan bahwa dirinya tak lebih dari sebuah titik yang terlihat samar. (muhammadnuh@eramuslim.com)

 

Berubah itu Langkah Demi Langkah

Banyak orang yang ingin berubah. "termasuk saya, tentunya". Namun dia merasakan begitu sulit berubah. Apa penyebabnya?

Jika anda ditanya " Bisakah anda memakan sepeda? 

Tentu saja, banyak yang mengatakan tidak mungkin. Bagaimana bisa memakan sepeda?

Padahal, orang yang memakan sepeda bukan fiktif bukan juga bercanda. Ini benar, adanya tercatat di Guiness Book of Record. Bahkan katanya, sudah terpecahkan oleh orang yang memakan Harley Davidson. Wow!

Bagaimana bisa? Inilah kuncinya. Ini adalah kunci yang bisa membuat perbedaan sangat mendasar. Pemahaman inilah yang menjadikan seseorang menjelma menjadi orang hebat atau tidak. Inilah rahasia berubah!

Rahasia Berubah Itu Langkah Demi Langkah

Orang bisa memakan sepeda, bahkan Harley Davidson, karena mereka memakannya secara bertahap. Pemakan sepeda memotong-motong sepedanya, bahkan dihancurkan, kemudian dimakan sedikit demi sedikit. Akhirnya dia bisa menghabiskan sepeda (masuk ke dalam perutnya) dalam waktu 3 bulan.

Lama? Iya, memang lama. Tetapi berhasil. Jika sepeda hanya pelototi saja. Jika kita hanya memikirkan bagaimana cara makan sepeda sekaligus, kita bisa menyerah. Langsung saja kita mengatakan: “Mustahil!”

Begitu juga dalam berubah. Jika Anda ingin menjadi seseorang yang lebih baik, mulailah berubah. Langkah demi langkah, jangan berpikir sekaligus.Saat kita berpikir bahwa kita harus berubah sekaligus, meski mulut tidak berucap, pikiran bawah sadar kita akan mengatakan itu mustahil. Apa akibatnya? Dia tidak mengambil langkah untuk berubah.

Bagaimana kita bisa menghafal Al Quran? Bukankah banyak sekali? Para penghafal Al Quran menghafal ayat demi ayat, bahkan bisa jadi satu ayat pun di potong-potong dulu agar mudah menghafalnya.

Berubah itu selangkah demi selangkah. Sama seperti Anda makan, sesuap demi sesuap.

Berubah Sedikit Tetapi Kontinyu

Sepotong demi sepotong, sepeda pun habis dimakan. Selangkah demi selangkah, para pelari marathon pun bisa melalui puluhan kilo meter. Putaran demi putaran ban mobil Anda, ratusan kilo meter pun bisa ditempuh.

Jangan anggap sepele perubahan yang kecil atau sedikit. Jika dilakukan secara kontinyu, akan membawa perubahan besar dalam hidup Anda. Seorang trainer (Wiwoho) pernah mengatakan Kesuksesan besar adalah kasil dari kumpulan kesuksesan-kesuksesan kecil.

Rasulullah saw, dengan indah bersabda:

Amalan-amalan yang paling disukai Allah ialah yang lestari (langgeng atau berkesinambungan) meskipun sedikit. (HR. Bukhari)

Lakukanlah perubahan itu, meski pun kecil, sebab tidak ada yang kecil jika kita melakukan secara terus menerus, langkah demi langkah.

Siap-siap…. berubah!

Apa Arti Hidup bagi Anda?

Pernahkah Anda merasa sangat jenuh, bosan dan sebagainya sehingga malas bekerja, belajar, beraktivitas?

Pernahkah Anda begitu 'merindukan' hari libur dan 'membenci' hari Senin?

Pernahkah Anda (bagi yang sudah bekerja), frustasi karena tidak juga naik gaji, pangkat atau jabatan?

Pernahkah Anda mendapat tugas tambahan dan membuat Anda merasa terbebani?

Jika jawaban Anda SERING, maka Anda perlu merenungi arti hidup ini.

Saya dua pekan terakhir mengalami hal tersebut dan menemukan jawabannya dari slide Pak Rama Royani yang diringkas sebagai berikut :

Manusia memaknai hidupnya ada 3 kelompok yaitu hidup sebagai pekerjaan, karir dan panggilan. Tiap kelompok tersebut bisa dinilai dalam 4 kategori yaitu : motivasi, bekerja sebagai, harapan, mencari. Mari kita lihat satu persatu.

1. Hidup sebagai PEKERJAAN maka :

    - MOTIVASI : gaji, bayaran

    - BEKERJA SEBAGAI : kebutuhan hidup

   - HARAPAN : NAIK GAJI

   - MENCARI : Liburan Akhir Pekan

2. Hidup sebagai KARIR

  - MOTIVASI : uang dan kemajuan

  - BEKERJA SEBAGAI : perlombaan

  - HARAPAN : kekuasaan dan kebanggaan

  - MENCARI : promosi

3. Hidup sebagai PANGGILAN

  - MOTIVASI : amanat, perintah Allah

  - BEKERJA SEBAGAI : khalifah, utusan Allah

  - HARAPAN : dunia yang lebih baik

  - MENCARI : lebih banyak tugas

Jika Anda memandang hidup hanya sebagai PEKERJAAN, maka akan sulit melakukan aktivitas dengan ENJOY (enak), EASY (enteng), EXCELLENT (edun) dan EARN (untung). Beraktivitas dengan penuh kebosanan, tanpa semangat, menunggu akhir pekan agar bisa liburan. Hidup menjadi kurang bermakna, hanya berputar dari satu aktivitas ke aktivitas lain yang rutin dan membosankan.

Jika Anda memandang hidup sebagai KARIR, maka Anda bisa melakukan aktivitas dengan ENJOY (enak), EASY (enteng), EXCELLENT (edun) dan EARN (untung). Hanya masalahnya, jika tidak mendapatkan kekuasaan dan kebanggaan seperti jabatan, popularitas, maka Anda bisa juga frustasi dan stress. Merasa kurang dihargai.

Yang sangat baik adalah memandang hidup sebagai PANGGILAN. Kita diciptakan Allah sebagai khalifah, utusanNya untuk membuat dunia lebih baik. Segala yang kita lakukan bermakna dan kita maknai sebagai ibadah dan pengabdian kepadaNya. Sehingga mendapat tugas tambahan, bukan sebagai beban tapi kesempatan untuk beramal lebih baik dan lebih banyak. kesempatan untuk berbagi dan memberi manfaat untuk manusia dan lingkungan.

Soal Eksplorasi Matematika

Soal eksplorasi matematika adalah soal yang membutuhkan penalaran tingkat tinggi, dalam penyelesaiannya dibutuhkan penguasaan konsep yang baik dan kejelian menerapkan konsep. berikut ini adalah soal eksplorasi matematika yang saya ambil dari soal Taiwan IMSO 2010.

Soal :

Gantilah huruf-huruf pada gambar berikut dengan bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9, sedemikian sehingga jumlah huruf-huruf yang terletak dalam satu garis lurus sama dengan 14

Penyelesaian :

Dengan memperhatikan
gambar, kita dapatkan persamaan-persamaan berikut :

a + b
+ c = 14

a + d
+ g = 14

a + e
+ h = 14

b + d
+ h = 14

b + f
+ i = 14

c + f
+ h = 14

c + g
+ i = 14

e + f
+ g = 14

jika kita jumlahkan,
maka kita dapatkan :

a + b
+ c + a + d
+ g + a + e
+ h + b + d
+ h + b + f
+ i + c + f
+ h + c + g
+ i + e + f
+ g = 8 x 14

3a + 3b + 3c + 2d + 2e +
3f + 3g + 3h + 2i =
112

3(a + b + c + d + e + f + g + h
+ i) －d－e－i = 112

 Sementara itu,  a + b + c + d + e
+ f + g + h + i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8
+ 9 = 45.

Sehingga 3×45－d－e－i = 112,
maka  d+e+i= 23.
Akibatnya {d, e, i}={6, 8, 9}.

Sekarang 14－6=1+7=3+5;
14－8=1+5=2+4 dan 14－9=1+4=2+3.
Karena lingkaran yang memuat huruf g
dilalui oleh garis-garis yang memuat angka 6, 8, dan 9, maka g harus = 1.

Akibatnya kita dapat
menyusun 3 kasus

Kasus
1. e = 6.

maka f = 7 ,
tetapi 14 = b + f + i > 7 + 8 = 15, salah.

Kasus
2. e = 9.

maka f = 4. Jika
i = 6, maka b = 8 , juga tidak mungkin . jika  i = 8, maka b = 2, c = 5
dan a = 7. akibatnya, 14 = a + e + h > 7 + 9 =
16, Salah.

Kasus
3. e = 8.

maka f = 5, i
= 6, b = 3, c = 7 dan h = 2.

Sehingga bilangan-bilangan
yang menggantikan huruf-huruf tersebut dapat disusun dalam diagram berikut.
Susunan tersebut adalah tunggal, artinya tidak ada susunan lain yang dapat
menghasilkan ketentuan sesuai permintaan soal.

Demikian indahnya analisa yang ditawarkan si pembuat soal. ketajaman analisa seperti yang dinginkan oleh soal di atas hanya dapat dibentuk oleh seseorang melalui latihan yang terus menerus.