Soal dan Solusi : Barisan dan Deret

1. Berapakah jumlah semua kelipatan 7 atau 11 yang kurang dari 1000?

Solusi

Kita dapat menuliskan soal tersebut dalam bentuk jumlah dari (7 + 14 + 21 + 28 + ... + 994) + (11 + 22 + 33 + 44 + ... + 990) yang merupakan deret aritmetika.

Namun demikian, kita masih harus menguranginya lagi dengan kelipatan 77 (7 x 11). 

Sehingga jumlah yang diinginkan adalah :

(7 + 14 + 21 + 28 + ... + 994) + (11 + 22 + 33 + 44 + ... + 990) – (77 + 154 + ... + 924)

Pada deret (7 + 14 + 21 + 28 + ... + 994), 994 merupakan suku ke-142, sehingga

Jumlahnya = ½ x 142 x (7 + 994) = 71 x 1001

Pada deret (11 + 22 + 33 + 44 + ... + 990), 990 merupakan suku ke-90, sehingga

Jumlahnya = ½ x 90 x (11 + 990) = 45 x 1001

Pada deret (77 + 154  ... + 924), 924 merupakan suku ke-12, sehingga

Jumlahnya = ½ x 12 x (77 + 924) = 6 x 1001

Maka jumlah yang dibutuhkan adalah :

= 71 x 1001 + 45 x 1001 - 6 x 1001

= (71 + 45 – 6) x 1001

= 110 x 1001

= 110110

2. Sebuah deret memenuhi t₁ = 1 dan t_n+1 = t_n + 3n² + 3n + 1. Hitunglah t₁₀₀.

Solusi

Selama selisih dari, t_n – t_n-1 tidak konstan, maka barisan tersebut tidak merupakan barisan aritemtika.

Jika kita ambil n = 1, kita dapatkan t₂ = 1 + 3 + 3 + 1 = 8.

Jika kita ambil n = 2, kita dapatkan t₃ = 8 + 12 + 6 + 1 = 27.

Fakta ini sepertinya mengarah ke t_n = n₃ untuk setiap n.

(untuk membuktikan hal tersebut, silahkan dicoba sendiri)

Karena t_n = n³, maka t₁₀₀= 100³

3. Jika a, b, a + b, dan ab adalah bilangan-bilangan positif yang membentuk 4 buah suku berurutan dari suatu deret geometri. Tentukan a.

Solusi

Perbandingan suku-sukunya adalah sebagai berikut :

Sehingga,

Selanjutnya,

Soal Matematika : CMC - Circle Geometry

1. In a circle with centre O, two chords AC and BD intersect at P. Show that ∠APB = ½ (∠AOB + ∠COD).

2. If the points A, B, C and D are any 4 points on a circle and P, Q, R and S are the midpoints of the arcs AB, BC, CD and DA respectively, show that PR is perpendicular to QS.

3. Calculate the value of x.

4. The three vertices of triangle ABC lie on a circle. Chords AX, BY, CZ are drawn within the interior angles A, B, C of the triangle. Show that the chords AX, BY and CZ are the altitudes of triangle XY Z if and only if they are the angle bisectors of triangle ABC.

5. As shown in the diagram, a circle with centre A and radius 9 is tangent to a smaller circle with centre D and radius 4. Common tangents EF and BC are drawn to the circles making points of contact at E, B and C.

Determine the length of EF.

6. In the diagram, two circles are tangent at A and have a common tangent touching them at B and C respectively.

(a) Show that ∠BAC = 90⁰. (Hint: with touching circles it is usual to draw the common tangent at the point of contact!)

(b) If BA is extended to meet the second circle at D show that CD is a diameter.

7. If ABCD is a quadrilateral with an inscribed circle as shown, prove that AB + CD = AD + BC.

8. In this diagram, the two circles are tangent at A. The line BDC is tangent to the smaller circle. Show that AD bisects ∠BAC.

9. Starting at point A₁ on a circle, a particle moves to A₂ on the circle along chord A₁A₂ which makes a clockwise angle of 35⁰ to the tangent to the circle at A₁. From A₂ the particle moves to A₃ along chord A₂A₃ which makes a clockwise angle of 37⁰ to the tangent at A₂. The particle continues in this way. From A_k it moves to A_k+1 along chord A_kA_k+1 which makes a clockwise angle of (33 + 2k)⁰ to the tangent to the circle at A_k. After several trips around the circle, the particle returns to A₁ for the first time along chord A_nA₁. Find the value of n.

Soal Pilihan : Luas Segi Empat

Soal

Tiga persegi ABCD, DEFG, dan GHIJ disusun seperti pada gambar. Pada gambar tersebut, titik-ttik A, D, dan E adalah segaris. Demikian pula untuk titik-titik J, G, dan F juga segaris. Titik-titik P, Q, R dan S berturut-turut adalah titik tengah BC, EF, HI dan JK. Jika luas ABCD adalah 25, luas DEFG adalah 4 dan luas GHIJ adalah 9 maka luas segiempat PQRS adalah ...

Jawab :

Misalkan titik O adalah titik tengah DG.

Misalkan x ,  y, dan z berturut-turut menyatakan panjang sisi-sisi persegi ABCD, DEFG, dan GHIJ.

Maka ,         x² = 25 maka diperoleh x = 5.

y² = 4, maka diperoleh y = 2.

z² = 9, maka diperoleh z = 3.

Perhatikan segiempat PQRS dapat disusun oleh segitiga-segitiga POQ, QOR, ROS dan SOP.

Oleh karena itu,

Luas PQRS    = luas POQ + luas QOR + luas ROS + luas SOP

                   = ½ x OQ x OC + ½ x OQ x OH + ½ x OS x OH + ½ x OS x OC

                   = ½ x 2 x 6 + ½ x 2 x 4 + ½ x 3 x 4 + ½ x 3 x 6 = 25

Diambil dari soal OMV 2010

Soal Pilihan : Banyak Jabat Salam

Soal

Dalam suatu acara keluarga hadir 10 pria dewasa, 8 wanita dewasa, 6 anak laki-laki, dan 5 anak perempuan. Di akhir acara, sebelum pulang mereka saling berjabat tangan. Jika pria dewasa tidak berjabat tangan dengan wanita dewasa, anak laki-laki tidak berjabat tangan dengan anak perempuan, maka banyak jabat tangan seluruhnya adalah .....

Jawab

Banyak orang dalam acara itu adalah 10 + 8 + 6 + 5 = 29.

Jika saling berjabat tangan semua maka terjadi jabat tangan sebanyak

28 + 27 + 26 + 25 + ... + 1 = ½ x 28 x 29 = 406.

Jabat tangan pria dewasa dengan wanita dewasa adalah 10 x 8 = 80.

Jabat tangan anak laki-laki dengan anak perempuan adalah 6 x 5 = 30 .

Jadi jabat tangan seluruhnya ada 406 – (80 + 30) = 406 – 110 = 296.

Diambil dari soal OMV 2010

Soal Pilihan : Banyak Angka Nol

Soal

Banyaknya angka nol dari hasil penjumlahan

10¹⁰ + 10²⁰ + 10³⁰ + ... + 10¹⁹⁹⁰ + 10²⁰⁰⁰ + 10²⁰¹⁰

adalah .....

Jawab

Misalkan .

S = 10¹⁰ + 10²⁰ + 10³⁰ + ... + 10¹⁹⁹⁰ + 10²⁰⁰⁰ + 10²⁰¹⁰

Perhatikan 10²⁰¹⁰ yang terdiri dari satu angka 1 dan sebanyak 2010 angka 0.

Demikian untuk pangkat-pangkat yang lain juga memiliki pola yang sama.

Karena itu, S terdiri dari sebanyak 201 angka 1 dan sebanyak angka 0.

Diambil dari soal OMV 2010

Soal Pilihan : Nilai Rata-Rata

Soal

Di suatu kelas hanya tinggal dua siswa yang belum mengikuti ulangan matematika, yaitu Maya dan Meye. Tanpa nilai mereka berdua, rata-rata ulangan di kelas adalah 88. Ketika Maya mengikuti ulangan, rata-rata ulangan di kelas menjadi 88,24. Dan setelah semua siswa mengikuti ulangan, rata-rata di kelas menjadi 87,81. Jika hasil nilai ulangan Meye adalah 70 maka banyak anak di kelas tersebut adalah ….

Jawab :

Misalkan banyaknya siswa di kelas tersebut adalah , karena ada Maya dan Meye tidak masuk, maka banyaknya siswa pada saat itu adalah n - 2. Sedangkan setelah Maya mengikuti ujian, maka banyaknya siswa menjadi n - 1. Nilai ulangan Meye diketahui sama dengan 70.

Rata-rata nilai ulangan di kelas tanpa Maya dan Meye adalah 88.

Saat Maya sudah mengikuti ujian, rata-ratanya menjadi 88,24.

Ketika Meye sudah mengikuti ujian, rata-rata kelas menjadi 87,81.

Misalkan nilai ulangan Maya adalah k.

Maka

87,81 = 1/n [88 x (n – 2) + k + 70]       → 88,24n = 88(n – 2) + k + 70

                                                          → 0,24n = -106 + k

Di sisi lain,

88,24 = 1/(n-1) x [88(n – 2) + k] → 88,24 n – 88,24 = 88n – 176 + k

                                                → 0,24 n = -87,76 + k

Jadi diperoleh dua persamaan tersebut. Jika kita selesaikan sistem persamaan tersebut diperoleh k = 98 dan n = 42,4 . Jadi banyaknya siswa di kelas tersebut adalah 42 siswa atau anda boleh menjawab 43 (sebab menyatakan banyak siswa maka harus merupakan bilangan bulat tak negatif).

Diambil dari soal OMV 2010

Soal Pilihan : Mengisi Kotak

Soal

Perhatikan gambar. Kotak-kotak pada gambar akan diisi dengan tepat satu bilangan diantara 1, 2, 3, ... , 9. Bilangan-bilangan yang terdapat pada bagian kanan dan bawah merupakan hasil perkalian tiga bilangan pada setiap baris dan kolom yang bersesuaian. Bilangan yang dinyatakan dengan tanda * adalah ……

Jawab :

Misalkan angka-angka dinyatakan sebagai a, b, c, d, e, f, g, h, dan i.

Perhatikan bahwa hanya 20 dan 105 yang habis dibagi 5 sedangkan bilangan lain tidak memiliki faktor 5.

Oleh karena itu, h = 5.

Selanjutnya e = 7, sebab 7 merupakan faktor 105 dan 126.

Akibatnya, b = 3.

Dengan mengikuti pola sebelumnya, diperoleh f = 2.

Karena itu, g dan i bernilai 4 atau 1.

Sedangkan a dan c bernilai 6 atau 8.

Setelah di cek, diperoleh i = 4 dan g = 1.

Jadi, bilangan yang harus dimasukkan ke dalam kotak dengan tanda * adalah 4.

Diambil dari soal OMV 2010