Soal dan Solusi : Barisan dan Deret

1. Berapakah jumlah semua kelipatan 7 atau 11 yang kurang dari 1000?

Solusi

Kita dapat menuliskan soal tersebut dalam bentuk jumlah dari (7 + 14 + 21 + 28 + ... + 994) + (11 + 22 + 33 + 44 + ... + 990) yang merupakan deret aritmetika.

Namun demikian, kita masih harus menguranginya lagi dengan kelipatan 77 (7 x 11). 

Sehingga jumlah yang diinginkan adalah :

(7 + 14 + 21 + 28 + ... + 994) + (11 + 22 + 33 + 44 + ... + 990) – (77 + 154 + ... + 924)

Pada deret (7 + 14 + 21 + 28 + ... + 994), 994 merupakan suku ke-142, sehingga

Jumlahnya = ½ x 142 x (7 + 994) = 71 x 1001

Pada deret (11 + 22 + 33 + 44 + ... + 990), 990 merupakan suku ke-90, sehingga

Jumlahnya = ½ x 90 x (11 + 990) = 45 x 1001

Pada deret (77 + 154  ... + 924), 924 merupakan suku ke-12, sehingga

Jumlahnya = ½ x 12 x (77 + 924) = 6 x 1001

Maka jumlah yang dibutuhkan adalah :

= 71 x 1001 + 45 x 1001 - 6 x 1001

= (71 + 45 – 6) x 1001

= 110 x 1001

= 110110

2. Sebuah deret memenuhi t₁ = 1 dan t_n+1 = t_n + 3n² + 3n + 1. Hitunglah t₁₀₀.

Solusi

Selama selisih dari, t_n – t_n-1 tidak konstan, maka barisan tersebut tidak merupakan barisan aritemtika.

Jika kita ambil n = 1, kita dapatkan t₂ = 1 + 3 + 3 + 1 = 8.

Jika kita ambil n = 2, kita dapatkan t₃ = 8 + 12 + 6 + 1 = 27.

Fakta ini sepertinya mengarah ke t_n = n₃ untuk setiap n.

(untuk membuktikan hal tersebut, silahkan dicoba sendiri)

Karena t_n = n³, maka t₁₀₀= 100³

3. Jika a, b, a + b, dan ab adalah bilangan-bilangan positif yang membentuk 4 buah suku berurutan dari suatu deret geometri. Tentukan a.

Solusi

Perbandingan suku-sukunya adalah sebagai berikut :

Sehingga,

Selanjutnya,