SOAL IMO 2011

HARI PERTAMA

Soal 1. Diberikan sebarang himpunan A = {a₁, a₂, a₃, a₄} dari empat bilangan bulat positif berbeda, jumlah a₁+a₂+a₃+a₄ didefinisikan dengan s_A. Misalkan n_A menyatakan banyaknya pasangan (i, j) dengan 1 ≤ i < j ≤ 4 sehingga a_i + a_j membagi s_A. Cari semua himpunan A dari empat bilangan bulat positif berbeda yang merealisasikan nilai n_A terbesar yang mungkin.

Soal 2. Misalkan S adalah suatu himpunan hingga dari paling sedikit dua titik pada bidang tertentu. Asumsikan bahwa tidak ada tiga titik dari S yang segaris. Suatu pusaran adalah suatu proses yang dimulai dengan suatu garis ℓ melalui suatu titik tunggal P ∈ S. Garis itu berputar searah putaran jarum jam dengan pusat P sampai waktu pertama garis itu bertemu suatu titik lain anggota S. Titik ini, Q, mengambil alih sebagai pusat baru, dan garis itu sekarang berputar searah putaran jarum jam dengan pusat Q, sampai garis itu bertemu suatu titik berikutnya dari S. Proses ini berlanjut secara terus menerus.

Buktikan bahwa kita dapat memilih suatu titik P di S dan suatu garis ℓ  melalui P sehingga pusaran yang dihasilkan menggunakan masing-masing titik dari S sebagai pusat tak hingga banyak kali.

Soal 3. Misalkan f : R → R adalah suatu fungsi bernilai real terdefinisi pada himpunan bilangan real memenuhi

f(x + y) ≤ yf(x) + f(f(x))

untuk semua bilangan real x dan y. Buktikan bahwa f(x) = 0 untuk semua x ≤ 0.

HARI KEDUA

Soal 4. Misalkan n > 0 adalah suatu bilangan bulat. Kita diberi suatu neraca dan n pemberat dengan berat 2⁰, 2¹, . . . , 2ⁿ⁻¹. Kita letakkan masing-masing dari n pemberat pada neraca, satu demi satu, sedemikian cara sehingga baki kanan tidak pernah lebih berat dari baki kiri. Pada masing-masing langkah kita memilih satu dari pemberat yang belum diletakkan pada neraca, dan meletakkannya pada baki kiri atau kanan, sampai semua pemberat terletakkan.

Tentukan banyak cara yang seperti ini dapat dilakukan.

Soal 5. Misalkan f adalah suatu fungsi dari himpunan bilangan bulat ke himpunan bilangan bulat positif. Anggap bahwa, untuk sebarang dua bilangan bulat m dan n, beda f(m)−f(n) terbagi oleh f(m − n). Buktikan bahwa, untuk semua bilangan bulat m dan n dengan f(m) ≤ f(n), bilangan f(n) terbagi oleh f(m).

Soal 6. Misalkan ABC adalah suatu segitiga lancip dengan lingkaran luar Г. Misalkan ℓ adalah suatu garis singgung Г, dan misalkan ℓ_a, ℓ_b dan ℓ_c berturut-turut adalah garis-garis yang diperoleh dari mencerminkan ℓ pada garis-garis BC, CA dan AB. Buktikan bahwa lingkaran luar segitiga yang dibentuk oleh garis-garis ℓ_a, ℓ_b dan ℓ_c bersinggungan dengan lingkaran Г.