Pembahasan Soal OSN Matematika SMP Tingkat Nasional Tahun 2011 : Nomor 8 dan 10

Sebenarnya saya sudah tidak berniat untuk melanjutkan postingan tentang Pembahasan Soal OSN Matematika SMP sebagaimana postingan-postingan sebelumnya. Karena memang sudah ada rujukan yang lebih valid dan komplit tentang penyelesaian soal tersebut, yaitu di Bakti Olimpiade miliknya Bapak Eddy Hermanto.

Namun karena masih ada dua nomor yang belum terselesaikan yaitu soal nomor 8 dan 10, maka saya mengharuskan diri untuk memposting penyelesaian kedua soal tersebut. Penyelesaian kedua soal tersebut saya ambil dari sumber yang saya sebutkan di atas.

Berikut penyelesaian kedua soal tersebut.

Soal 8

Ipin dan Upin melakukan permainan Tic Tac Toe dengan sebuah papan berukuran 3 x 3. Ipin mendapat giliran pertama dengan memainkan X. Upin memainkan O. Mereka harus mengisi tanda X atau O pada papan catur secara bergantian. Pemenang pada permainan ini adalah orang pertama yang berhasil menyusun tanda secara horizontal, vertical, atau diagonal. Tentukan banyak posisi akhir yang mungkin, jika Ipin menang pada langkah ke-4. Sebagai contoh, salah satu posisi akhir adalah seperti gambar di samping.

Penyelesaian

Kemenangan Ipin dapat dibagi dalam 2 kasus

•         Tiga buah tanda X membentuk diagonal Ada 2 kemungkinan diagonal yaitu kiri bawah ke kanan atas atau kanan bawah ke kiri atas.

Tanda X satu lagi dipilih dari 6 tempat tersisa.

Tiga buah tanda O dapat dipilih dari 5 tempat tersisa, banyaknya cara = ₅C₃ = 10

Jadi, banyaknya cara Ipin menang = 2 ⋅ 6 ⋅ ₅C₃ = 120.

•         Tiga buah tanda X membentuk horisontal maupun vertikal

Ada 6 kemungkinan 3 tanda X membentuk horisontal maupun vertikal.

Tanda X satu lagi dipilih dari 6 tempat tersisa.

Tiga buah tanda O tidak dapat membentuk horisontal maupun vertikal. Hanya ada 1 cara tiga buah tanda O membentuk horizontal maupun vertikal pada masing-masing kasus.

Tiga buah tanda O dapat dipilih dari 5 tempat tersisa, banyaknya cara = ₅C₃ = 10

Jadi, banyaknya cara Ipin menang = 6 ⋅ 6 ⋅ (₅C₃ − 1) = 324.

Jadi, banyaknya cara Ipin menang pada semua kasus = 120 + 324 = 444

∴ Jadi, banyaknya cara Ipin menang = 444.

Soal 10

Perhatikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2 satuan. Titik A, B, C, dan D terletak pada bidang sisi bagian bawah. Titik I merupakan titik perpotongan garis diagonal pada bidang sisi atas. Selanjutnya dibuat limas I.ABCD. Jika limas I.ABCD dipotong oleh bidang diagonal yang menghubungkan titik-titik A, B, G, dan H, tentukan volume limas terpancung bagian bawah

Penyelesaian

Perhatikan gambar.

Misalkan perpotongan diagonal AC dan BD di titik J. Titik K dan L berurutan adalah pertengahan sisi AB dan DC. Titik M terletak pada sisi IL sehingga KM adalah perpotongan bidang diagonal ABGH dengan bidang IKL. Maka ∠MKL = ∠GBC = 45^o. Misalkan titik N terletak pada sisi KL sehingga MN tegak lurus KL. Maka MN adalah juga tinggi limas terpancung bagian bawah.

(IL)² = (IJ)² + (JL)² = 2² + 1² = √5

IL = √5

Misalkan MN = t maka KN = t sehingga NL = 2 − t.

ΔMNL sebangun dengan ΔIJL sehingga MN : NL = JI : JL

t : (2 – t) = 2/1 = 2

t = 4 − 2t sehingga t = 4/3

KM = t√2 = 4/3√2

(ML)² = (MN)² + (NL)² = t² + (2 − t)² = 20/9

ML = ⅔√5

Perpotongan bidang ABGH dengan bangun I.ABCD akan berbentuk trapesium dengan salah satu garis sejajar adalah AB dengan tinggi trapesium = KM. Misalkan trapesium tersebut adalah ABPQ dengan AB sejajar PQ. Maka M adalah pertengahan PQ.

IM = IL − ML = √5 − ⅔√5 = ⅓√5

Karena PQ sejajar CD maka ΔIPQ sebangun dengan ΔICD sehingga PQ : CD = IM : IL = ⅓

PQ = ⅓CD = ⅔

Alternatif 1 :

[ABPQ] = ½ (PQ + AB) ⋅ KM = 1/2(⅔ + 2) ⋅ ¾ √2 = 16/9√2

Tinggi limasan terpancung bagian atas sama dengan jarak titik I ke alas ABPQ yang juga sama dengan jarak pertengahan FG dengan garis BG, yaitu 1 ⋅ sin 45^o = ½ √2.

Volume limas terpancung bagian atas = ⅓[ABPQ] ⋅ ½ √2 = ⅓ ⋅ 16/9√2 ⋅ ½ √2 = 16/27

Volume limas I.ABCD = ⅓[ABCD] ⋅ IJ = ⅓ ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8/3

Volume limas terpancung bagian bawah = 8/3 – 16/27 = 56/27

∴ Jadi, volume limas terpancung bagian bawah = 56/27

Alternatif 2 :

Misalkan bidang yang memotong tegaklurus alas ABCD dan melalui P memotong sisi AB di B’ dan sisi CD di C’. Misalkan juga bidang yang memotong tegaklurus alas ABCD dan melalui Q memotong sisi AB di A’ dan sisi CD di D’.

AA’ = B’B = ½ (AB − PQ) = ½ (2 − ⅔) = ⅔

Tinggi limas terpancung bagian bawah = MN = t = ⁴/₃

Volume limas terpancung bagian bawah = Volume QA’D’PB’C’ + 2 ⋅ limas P.B’BCC’

Volume limas terpancung bagian bawah = (1/2 ⋅ BC ⋅ t) ⋅ QP + 2 ⋅ ⅓⋅ (B’B ⋅ BC) ⋅ t

Volume limas terpancung bagian bawah = ( ½ ⋅ 2 ⋅ ¾ ) ⋅ ⅔ + 2 ⋅ ⅓ ⋅ (32 ⋅ 2) ⋅ ¾  = 8/9 + 32/27 = 56/27

∴ Jadi, volume limas terpancung bagian bawah = 56/27