Pembahasan Soal OSN Matematika SMP Tingkat Nasional Tahun 2011 : Soal 9

SOAL

Didefinisikan :

S(n) = ∑ (-1)^k+1 k= (-1)¹⁺¹ 1 + (-1)²⁺¹ 2 + (-1)³⁺¹ 3 + ... + (-1)ⁿ⁺¹ n  (k mulai 0 sampai n)

Selidiki apakah ada bilangan bulat positif m dan n yang memenuhi s(m) + S(n) + S(m+n) = 2011

JAWAB

Secara deret, bentuk tersebut dapat ditulis dalam bentuk berikut :

S(n) = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + ... ± n

Dapat pula kita membuat pengelompokan sebagai berikut

S(n) = 1 + (– 2 + 3) + ( – 4 + 5) + ( – 6 + 7) + ... ± n

Yang dapat disederhanakan menjadi

S(n) = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ....+ 1 untuk n ganjil

Atau

S(n) = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + .... + 1 – n = n – 1 + n = -1 Untuk n genap

Sehingga kita dapat menulis

-1 + 1 + 2011 = 2011

Dan dengan mudah kita dapatkan

S(2010) + S(1) + s(2010 + 1) = 2011